Упр.24.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (sin(45°+?)-cos(45°+?))/(sin(45°+?)+cos(45°+?))=tg(?);
2) (sin(?)+2sin(60°-?))/(2cos(30°-?)-v3cos(?))=v3ctg(?).

1. Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы сложения:
   $$\sin(45^\circ+\alpha)=\sin45^\circ\cos\alpha+\cos45^\circ\sin\alpha,$$
   $$\cos(45^\circ+\alpha)=\cos45^\circ\cos\alpha-\sin45^\circ\sin\alpha.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sin(45^\circ+\alpha)-\cos(45^\circ+\alpha)}{\sin(45^\circ+\alpha)+\cos(45^\circ+\alpha)} = \frac{\sin45^\circ\cos\alpha+\cos45^\circ\sin\alpha-\cos45^\circ\cos\alpha+\sin45^\circ\sin\alpha} {\sin45^\circ\cos\alpha+\cos45^\circ\sin\alpha+\cos45^\circ\cos\alpha-\sin45^\circ\sin\alpha}. $$

   Подставим $$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$$:
   $$ \frac{\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha} {\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha} = \frac{\sqrt2\sin\alpha}{\sqrt2\cos\alpha} = \tg\alpha. $$

2. Используем формулы:
   $$\sin(60^\circ-\alpha)=\sin60^\circ\cos\alpha-\cos60^\circ\sin\alpha,$$
   $$\cos(30^\circ-\alpha)=\cos30^\circ\cos\alpha+\sin30^\circ\sin\alpha.$$

   Тогда
   $$ \frac{\sin\alpha+2\sin(60^\circ-\alpha)}{2\cos(30^\circ-\alpha)-\sqrt3\cos\alpha} = \frac{\sin\alpha+2\sin60^\circ\cos\alpha-2\cos60^\circ\sin\alpha} {2\cos30^\circ\cos\alpha+2\sin30^\circ\sin\alpha-\sqrt3\cos\alpha}. $$

   Подставим $$\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos60^\circ=\frac12,\ \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \sin30^\circ=\frac12$$:
   $$ \frac{\sin\alpha+\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha} {\sqrt3\cos\alpha+\sin\alpha-\sqrt3\cos\alpha} = \frac{\sqrt3\cos\alpha}{\sin\alpha} = \sqrt3\,\ctg\alpha. $$

Ответ

$$\frac{\sin(45^\circ+\alpha)-\cos(45^\circ+\alpha)}{\sin(45^\circ+\alpha)+\cos(45^\circ+\alpha)}=\tg\alpha,$$
$$\frac{\sin\alpha+2\sin(60^\circ-\alpha)}{2\cos(30^\circ-\alpha)-\sqrt3\cos\alpha}=\sqrt3\,\ctg\alpha.$$