Упр.24.40 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.40. Докажите неравенство tg(?/2)+tg(?/2)+tg(?/2)?v3, где ?, ? и ? — углы треугольника.

Обозначим

$$M=\tg \frac{\alpha}{2}+\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}.$$

Так как углы треугольника положительны, то $$M>0.$$ Возведём сумму в квадрат:

$$ M^2=\left(\tg \frac{\alpha}{2}+\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\right)^2. $$

Раскроем скобки:

$$ M^2=\tg^2 \frac{\alpha}{2}+\tg^2 \frac{\beta}{2}+\tg^2 \frac{\gamma}{2} +2\left(\tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{\gamma}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\tg \frac{\alpha}{2}\right). $$

Для углов треугольника $$\alpha+\beta+\gamma=\pi,$$ поэтому

$$ \tg \frac{\alpha}{2}\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\beta}{2}\tg \frac{\gamma}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\tg \frac{\alpha}{2}=1. $$

Кроме того,

$$ \tg^2 \frac{\alpha}{2}+\tg^2 \frac{\beta}{2}+\tg^2 \frac{\gamma}{2}\ge 1. $$

Тогда

$$ M^2\ge 1+2\cdot 1=3. $$

Так как $$M>0,$$ получаем

$$ M\ge \sqrt{3}. $$

Следовательно,

$$ \tg \frac{\alpha}{2}+\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\ge \sqrt{3}. $$

Ответ

$$\tg \frac{\alpha}{2}+\tg \frac{\beta}{2}+\tg \frac{\gamma}{2}\ge \sqrt{3}.$$