Упр.24.39 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.39. Докажите неравенство tg^2(?/2)+tg^2(?/2)+tg^2(?/2), где ?, ? и ? — углы треугольника.

Обозначим

$$x=\tg \frac{\alpha}{2}, \quad y=\tg \frac{\beta}{2}, \quad z=\tg \frac{\gamma}{2}.$$

Для углов треугольника выполняется формула

$$x y + x z + y z = 1.$$

Рассмотрим выражение

$$M=x^2+y^2+z^2-(x y+x z+y z).$$

Тогда

$$ M=\frac12\bigl((x-y)^2+(x-z)^2+(y-z)^2\bigr)\ge 0. $$

Следовательно,

$$x^2+y^2+z^2\ge x y+x z+y z=1.$$

Возвращаясь к исходным обозначениям, получаем

$$\tg^2 \frac{\alpha}{2}+\tg^2 \frac{\beta}{2}+\tg^2 \frac{\gamma}{2}\ge 1.$$

Ответ

$$\tg^2 \frac{\alpha}{2}+\tg^2 \frac{\beta}{2}+\tg^2 \frac{\gamma}{2}\ge 1.$$