Упр.24.38 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.38. Известно, что sin(?)+sin(?)+sin(?)?v5. Докажите, что cos(?)+cos(?)+cos(?)?2.

Обозначим

$$x=\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma,$$

$$y=\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma.$$

Тогда

$$x^2+y^2=(\cos \alpha+\cos \beta+\cos \gamma)^2+(\sin \alpha+\sin \beta+\sin \gamma)^2.$$

Раскроем скобки:

$$ x^2+y^2= (\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma)+(\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin^2\gamma) +2(\cos\alpha\cos\beta+\cos\beta\cos\gamma+\cos\alpha\cos\gamma) +2(\sin\alpha\sin\beta+\sin\beta\sin\gamma+\sin\alpha\sin\gamma). $$

Используем тождество $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и формулу $$\cos u\cos v+\sin u\sin v=\cos(u-v)$$:

$$ x^2+y^2=3+2\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\beta-\gamma)+\cos(\alpha-\gamma)\bigr). $$

По условию $$y\ge \sqrt5,$$ значит $$y^2\ge 5.$$ Тогда

$$ x^2+y^2\ge 4+5=9. $$

Следовательно,

$$ 3+2\bigl(\cos(\alpha-\beta)+\cos(\beta-\gamma)+\cos(\alpha-\gamma)\bigr)\ge 9, $$

откуда

$$ \cos(\alpha-\beta)+\cos(\beta-\gamma)+\cos(\alpha-\gamma)\ge 3. $$

Но каждое из слагаемых не превосходит $$1$$, поэтому сумма равна $$3$$ только при

$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos(\beta-\gamma)=\cos(\alpha-\gamma)=1. $$

Значит,

$$ \alpha-\beta=2\pi k,\quad \beta-\gamma=2\pi m,\quad \alpha-\gamma=2\pi n, $$

где $$k,m,n\in \mathbb Z.$$ Тогда

$$\cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma,$$

и поэтому

$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=3\cos\alpha\le 3. $$

С другой стороны, из равенства $$x^2+y^2=9$$ и $$y^2\ge 5$$ получаем $$x^2\le 4,$$ то есть $$|x|\le 2.$$ Следовательно,

$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le 2. $$

Ответ

$$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma\le 2.$$