Упр.24.37 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.37. Докажите неравенство cos(?-?) < cos(?)+sin(?), где 0 < ? < ?/2, 0 < ? < ?/2.

Используем формулу косинуса разности:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то

$$0<\cos\alpha<1,\qquad 0<\sin\beta<1.$$

Тогда

$$\cos\alpha\cos\beta<\cos\alpha,\qquad \sin\alpha\sin\beta<\sin\beta.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta<\cos\alpha+\sin\beta.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\cos(\alpha-\beta)<\cos\alpha+\sin\beta.$$