Упр.24.36 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.36. Докажите неравенство sin(?+?) < cos(?)+cos(?), где 0 < ? < ?/2, 0 < ? < ?/2.

Используем формулу суммы синусов:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Так как $$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то

$$0<\sin\alpha<1,\quad 0<\sin\beta<1,\quad 0<\cos\alpha<1,\quad 0<\cos\beta<1.$$

Следовательно,

$$\sin\alpha\cos\beta<\cos\beta,\qquad \cos\alpha\sin\beta<\cos\alpha.$$

Складывая эти неравенства, получаем:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta<\cos\beta+\cos\alpha.$$

Значит,

$$\sin(\alpha+\beta)<\cos\alpha+\cos\beta.$$

Ответ

$$\sin(\alpha+\beta)<\cos\alpha+\cos\beta.$$