Упр.24.35 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.35. Докажите, что если ?, ? м ? — углы треугольника, то tg(?/2)tg(?/2)+tg(?/2)tg(?/2)+tg(?/2)tg(?/2)=1.

Пусть $$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$ Тогда

$$\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}.$$

Рассмотрим левую часть доказываемого равенства:

$$\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}.$$

Сгруппируем слагаемые так:

$$\tg\frac{\gamma}{2}\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\right)=1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}.$$

Отсюда

$$\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}}.$$

По формуле тангенса суммы имеем

$$\tg\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}}{1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}.$$

Так как $$\frac{\alpha+\beta}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2},$$ то

$$\tg\frac{\alpha+\beta}{2}=\ctg\frac{\gamma}{2}.$$

Следовательно,

$$\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{1-\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}}{\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}}=\ctg\frac{\alpha+\beta}{2}=\tg\frac{\gamma}{2},$$

и потому

$$\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.$$

Утверждение доказано.

Ответ

$$\tg\frac{\alpha}{2}\tg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\tg\frac{\gamma}{2}+\tg\frac{\gamma}{2}\tg\frac{\alpha}{2}=1.$$