Упр.24.34 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.34. Докажите, что если ?, ? и ? — углы непрямоугольного треугольника, то tg(?)+tg(?)+tg(?)=tg(?)tg(?)tg(?).

Пусть $$\alpha$$, $$\beta$$ и $$\gamma$$ — углы непрямоугольного треугольника. Тогда

$$\alpha+\beta+\gamma=\pi.$$

Следовательно,

$$\alpha+\beta=\pi-\gamma.$$

Тогда

$$\tg(\alpha+\beta)=\tg(\pi-\gamma)=-\tg\gamma.$$

С другой стороны, по формуле суммы тангенсов

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}.$$

Приравнивая полученные выражения, получаем

$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\,\tg\beta}=-\tg\gamma.$$

Умножим на $$1-\tg\alpha\,\tg\beta$$:

$$\tg\alpha+\tg\beta=-\tg\gamma+\tg\alpha\,\tg\beta\,\tg\gamma.$$

Перенесём $$\tg\gamma$$ в левую часть:

$$\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\,\tg\beta\,\tg\gamma.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$\tg\alpha+\tg\beta+\tg\gamma=\tg\alpha\,\tg\beta\,\tg\gamma.$$