Упр.24.32 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(tg(2x)-tg(x))/(1+tg(2x)tg(x));
2) y=(v3+tg(x))/(1-v3tg(x)).

Используем формулу сложения для тангенса:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \tg \beta}, \qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \tg \beta}.$$

1. $$y=\frac{\tg 2x-\tg x}{1+\tg 2x \tg x}=\tg(2x-x)=\tg x.$$

   Но исходное выражение определено не при всех $x$, а только там, где существуют оба тангенса и знаменатель не равен нулю:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Значит, график — это график функции $$y=\tg x$$ с исключёнными точками, в которых исходная формула не определена.

2. $$y=\frac{\sqrt3+\tg x}{1-\sqrt3\,\tg x}=\frac{\tg \frac{\pi}{3}+\tg x}{1-\tg \frac{\pi}{3}\tg x}=\tg\!\left(\frac{\pi}{3}+x\right).$$

   Область определения исходной функции:

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно, график — это график функции $$y=\tg\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right)$$ с исключёнными точками, где исходное выражение не определено.

Ответ

1) $$y=\tg x,\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ x\ne \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\tg\!\left(x+\frac{\pi}{3}\right),\quad x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ x\ne \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$