Упр.24.31 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.31. Дано: cos(?)=v21/7, sin(?)=5v7/14, 0° < ? < 90°, 0° < ? < 90°. Найдите ?+?.

Подробный ответ

Найдём недостающие значения синуса и косинуса:

$$ \sin \alpha = \sqrt{1-\cos^2 \alpha} = \sqrt{1-\frac{21}{49}} = \sqrt{\frac{28}{49}} = \frac{2\sqrt7}{7} $$

$$ \cos \beta = \sqrt{1-\sin^2 \beta} = \sqrt{1-\frac{175}{196}} = \sqrt{\frac{21}{196}} = \frac{\sqrt{21}}{14} $$

Теперь вычислим косинус суммы:

$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$

$$ \cos(\alpha+\beta)=\frac{\sqrt{21}}{7}\cdot\frac{\sqrt{21}}{14}-\frac{2\sqrt7}{7}\cdot\frac{5\sqrt7}{14} $$

$$ \cos(\alpha+\beta)=\frac{21}{98}-\frac{70}{98} =-\frac{49}{98} =-\frac12 $$

Так как $$0^\circ<\alpha<90^\circ$$ и $$0^\circ<\beta<90^\circ$$, то $$0^\circ<\alpha+\beta<180^\circ$$. При этом

$$ \cos(\alpha+\beta)=-\frac12 $$

значит,

$$ \alpha+\beta=120^\circ $$