Упр.24.28 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.28. Дано: sin(40°+?)=b, 0° < ? < 45°. Найдите cos(70°+?).

Так как $$\sin(40^\circ+\alpha)=b$$ и $$0^\circ<\alpha<45^\circ,$$ то

$$40^\circ<40^\circ+\alpha<85^\circ.$$

Следовательно, угол $$40^\circ+\alpha$$ острый, значит

$$\cos(40^\circ+\alpha)=\sqrt{1-\sin^2(40^\circ+\alpha)}=\sqrt{1-b^2}.$$

Теперь найдём

$$\cos(70^\circ+\alpha)=\cos\bigl(30^\circ+(40^\circ+\alpha)\bigr).$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos(70^\circ+\alpha)=\cos30^\circ\cdot\cos(40^\circ+\alpha)-\sin30^\circ\cdot\sin(40^\circ+\alpha).$$

Подставим значения:

$$\cos(70^\circ+\alpha)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\sqrt{1-b^2}-\frac12\cdot b.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\cos(70^\circ+\alpha)=\frac{\sqrt{3(1-b^2)}-b}{2}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{3(1-b^2)}-b}{2}$$