Упр.24.27 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.27. Дано: cos(5°+?)=0,6, 0° < ? < 55°. Найдите tg(35°+?).

Из условия $$\cos(5^\circ+\alpha)=0{,}6$$ и $$0^\circ<\alpha<55^\circ$$ получаем

$$5^\circ<5^\circ+\alpha<60^\circ.$$

Значит, угол $$5^\circ+\alpha$$ острый, поэтому

$$\sin(5^\circ+\alpha)=\sqrt{1-\cos^2(5^\circ+\alpha)}=\sqrt{1-0{,}6^2}=\sqrt{0{,}64}=0{,}8.$$

Тогда

$$\tg(5^\circ+\alpha)=\frac{\sin(5^\circ+\alpha)}{\cos(5^\circ+\alpha)}=\frac{0{,}8}{0{,}6}=\frac{4}{3}.$$

Найдём теперь

$$\tg(35^\circ+\alpha)=\tg\bigl(30^\circ+(5^\circ+\alpha)\bigr).$$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$ \tg(35^\circ+\alpha)=\frac{\tg 30^\circ+\tg(5^\circ+\alpha)}{1-\tg 30^\circ\cdot \tg(5^\circ+\alpha)}. $$

Подставим значения:

$$ \tg(35^\circ+\alpha)=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{4}{3}}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{3}} =\frac{3+4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-4}. $$

Рационализуем знаменатель:

$$ \tg(35^\circ+\alpha)=\frac{3+4\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-4}\cdot\frac{3\sqrt{3}+4}{3\sqrt{3}+4} =\frac{(3+4\sqrt{3})(3\sqrt{3}+4)}{(3\sqrt{3})^2-4^2}. $$

$$ (3+4\sqrt{3})(3\sqrt{3}+4)=9\sqrt{3}+12+36+16\sqrt{3}=48+25\sqrt{3}, $$

$$ (3\sqrt{3})^2-4^2=27-16=11. $$

Следовательно,

$$\tg(35^\circ+\alpha)=\frac{48+25\sqrt{3}}{11}.$$

Ответ

$$\frac{48+25\sqrt{3}}{11}$$