Упр.24.26 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.26. Дано: sin(?/4-?)=-v2/10, ? < ? < 3?/2. Найдите sin(?).

Обозначим $$\frac{\pi}{4}-\alpha = t.$$ Тогда из условия

$$\sin t=-\frac{\sqrt{2}}{10}, \qquad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{\pi}{4}-\frac{3\pi}{2}<t<\frac{\pi}{4}-\pi,$$

то есть $$-\frac{5\pi}{4}<t<-\frac{3\pi}{4}.$$ На этом промежутке косинус отрицателен, поэтому

$$\cos t=-\sqrt{1-\sin^2 t}=-\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{2}{100}}=-\sqrt{\frac{49}{50}}=-\frac{7}{5\sqrt{2}}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}.$$

Теперь найдём $$\sin \alpha$$ по формуле разности:

$$\sin \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos t-\cos\frac{\pi}{4}\sin t.$$

Подставим значения:

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{7\sqrt{2}}{10}\right)-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{10}\right)=-\frac{7}{10}+\frac{1}{10}=-\frac{6}{10}=-\frac{3}{5}.$$

Ответ

$$-\frac{3}{5}$$