Упр.24.25 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.25. Дано: cos(?/3-?)=-2/5, 5?/6 < ? < 4?/3. Найдите sin(?).

Обозначим $$\beta=\frac{\pi}{3}-\alpha.$$ Тогда

$$\cos \beta=-\frac{2}{5}.$$

Из условия $$\frac{5\pi}{6}<\alpha<\frac{4\pi}{3}$$ получаем

$$-\frac{\pi}{2}<\beta<-\frac{\pi}{6}.$$

Значит, $$\sin \beta<0$$, поэтому

$$\sin \beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta}=-\sqrt{1-\left(-\frac{2}{5}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{4}{25}}=-\sqrt{\frac{21}{25}}=-\frac{\sqrt{21}}{5}.$$

Теперь найдём $$\sin \alpha$$ по формуле разности:

$$\sin \alpha=\sin\left(\frac{\pi}{3}-\beta\right)=\sin\frac{\pi}{3}\cos\beta-\cos\frac{\pi}{3}\sin\beta.$$

Подставим значения:

$$\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)-\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{5}+\frac{\sqrt{21}}{10}=\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{10}.$$

Ответ

$$\frac{\sqrt{21}-2\sqrt{3}}{10}$$