Упр.24.23 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?)-v3cos(?); 3) sin(?)+cos(?);
2) 4sin(?)+5cos(?); 4) 2sin(?)-cos(?).

1. $$\sin \alpha-\sqrt{3}\cos \alpha=2\left(\frac12\sin \alpha-\frac{\sqrt3}{2}\cos \alpha\right)$$
   $$=2\left(\cos \frac{\pi}{3}\sin \alpha-\sin \frac{\pi}{3}\cos \alpha\right)=2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right).$$
   Наибольшее значение синуса равно $$1,$$ значит,
   $$\max\left(\sin \alpha-\sqrt{3}\cos \alpha\right)=2.$$

2. $$4\sin \alpha+5\cos \alpha=\sqrt{41}\left(\frac{4}{\sqrt{41}}\sin \alpha+\frac{5}{\sqrt{41}}\cos \alpha\right).$$
   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:
   $$\sqrt{41}\left(\cos \varphi \sin \alpha+\sin \varphi \cos \alpha\right)=\sqrt{41}\sin(\alpha+\varphi),$$
   где
   $$\sqrt{41}=\sqrt{4^2+5^2}.$$
   Тогда наибольшее значение равно
   $$\max\left(4\sin \alpha+5\cos \alpha\right)=\sqrt{41}.$$

3. $$\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin \alpha+\frac{\sqrt2}{2}\cos \alpha\right)$$
   $$=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4}\sin \alpha+\sin \frac{\pi}{4}\cos \alpha\right)=\sqrt{2}\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right).$$
   Следовательно,
   $$\max\left(\sin \alpha+\cos \alpha\right)=\sqrt{2}.$$

4. $$2\sin \alpha-\cos \alpha=\sqrt{5}\left(\frac{2}{\sqrt5}\sin \alpha-\frac{1}{\sqrt5}\cos \alpha\right).$$
   Запишем в виде одной функции:
   $$\sqrt{5}\left(\cos \varphi \sin \alpha-\sin \varphi \cos \alpha\right)=\sqrt{5}\sin(\alpha-\varphi),$$
   где
   $$\sqrt{5}=\sqrt{2^2+1^2}.$$
   Значит,
   $$\max\left(2\sin \alpha-\cos \alpha\right)=\sqrt{5}.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$\sqrt{41}$$; 3) $$\sqrt{2}$$; 4) $$\sqrt{5}$$.