Упр.24.22 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(?+?)cos(?-?)=cos^2(?)-sin^2(?);
2) tg(?+?)-(tg(?)+tg(?))-tg(?+?)tg(?)tg(?)=0.

1) Используем формулы сложения и вычитания косинуса:

$$ \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)= (\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta). $$

Это произведение разности и суммы:

$$ (\cos\alpha\cos\beta)^2-(\sin\alpha\sin\beta)^2 = \cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta. $$

Преобразуем, используя $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$ и $$\sin^2 x=1-\cos^2 x$$:

$$ \cos^2\alpha\cos^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta = \cos^2\alpha(1-\sin^2\beta)-\sin^2\beta(1-\cos^2\alpha). $$

Раскроем скобки:

$$ \cos^2\alpha-\cos^2\alpha\sin^2\beta-\sin^2\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha = \cos^2\alpha-\sin^2\beta. $$

Следовательно,

$$ \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta. $$

2) Преобразуем выражение, используя формулу

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}. $$

Тогда

$$ \tg(\alpha+\beta)-(\tg\alpha+\tg\beta)-\tg(\alpha+\beta)\tg\alpha\tg\beta $$

$$ =\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}-(\tg\alpha+\tg\beta) -\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}\tg\alpha\tg\beta. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ =\frac{\tg\alpha+\tg\beta-(\tg\alpha+\tg\beta)(1-\tg\alpha\tg\beta)-(\tg\alpha+\tg\beta)\tg\alpha\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}. $$

В числителе получаем:

$$ (\tg\alpha+\tg\beta)-(\tg\alpha+\tg\beta)+(\tg\alpha+\tg\beta)\tg\alpha\tg\beta-(\tg\alpha+\tg\beta)\tg\alpha\tg\beta=0. $$

Значит,

$$ \tg(\alpha+\beta)-(\tg\alpha+\tg\beta)-\tg(\alpha+\beta)\tg\alpha\tg\beta=0. $$

Ответ

1) $$\cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\cos^2\alpha-\sin^2\beta$$;

2) $$\tg(\alpha+\beta)-(\tg\alpha+\tg\beta)-\tg(\alpha+\beta)\tg\alpha\tg\beta=0$$.