Упр.24.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(80°)-tg(20°)-v3tg(80°)tg(20°);
2) tg(35°)+tg(10°)+tg(35°)tg(10°).

1) Используем формулу:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$

Тогда

$$ \tg 80^\circ-\tg 20^\circ-\sqrt{3}\,\tg 80^\circ\tg 20^\circ = \frac{\tg 80^\circ-\tg 20^\circ}{1+\tg 80^\circ\tg 20^\circ}\,(1+\tg 80^\circ\tg 20^\circ)-\sqrt{3}\,\tg 80^\circ\tg 20^\circ. $$

Так как

$$\frac{\tg 80^\circ-\tg 20^\circ}{1+\tg 80^\circ\tg 20^\circ}=\tg(80^\circ-20^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$

получаем

$$ \sqrt{3}\,(1+\tg 80^\circ\tg 20^\circ)-\sqrt{3}\,\tg 80^\circ\tg 20^\circ=\sqrt{3}. $$

2) Используем формулу:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.$$

Тогда

$$ \tg 35^\circ+\tg 10^\circ+\tg 35^\circ\tg 10^\circ = \frac{\tg 35^\circ+\tg 10^\circ}{1-\tg 35^\circ\tg 10^\circ}\,(1-\tg 35^\circ\tg 10^\circ)+\tg 35^\circ\tg 10^\circ. $$

Так как

$$\frac{\tg 35^\circ+\tg 10^\circ}{1-\tg 35^\circ\tg 10^\circ}=\tg(35^\circ+10^\circ)=\tg 45^\circ=1,$$

то

$$ 1\cdot(1-\tg 35^\circ\tg 10^\circ)+\tg 35^\circ\tg 10^\circ=1. $$

Ответ

1) $$\sqrt{3}$$; 2) $$1$$.