Упр.24.24 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v3cos(?)-sin(?); 3) 3sin(?)+cos(?).
2) v5cos(?)-2v5sin(?);

1. $$\sqrt{3}\cos \alpha-\sin \alpha=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha-\frac12\sin \alpha\right).$$

   Так как $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\pi}{6}, \qquad \frac12=\sin \frac{\pi}{6},$$ то

   $$\sqrt{3}\cos \alpha-\sin \alpha=2\left(\cos \frac{\pi}{6}\cos \alpha-\sin \frac{\pi}{6}\sin \alpha\right)=2\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Наибольшее значение косинуса равно $$1$$, значит

   $$\max\left(\sqrt{3}\cos \alpha-\sin \alpha\right)=2.$$

2. $$\sqrt{5}\cos \alpha-2\sqrt{5}\sin \alpha=5\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\cos \alpha-\frac{2}{\sqrt{5}}\sin \alpha\right).$$

   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

   $$\frac{1}{\sqrt{5}}=\cos \varphi,\qquad \frac{2}{\sqrt{5}}=\sin \varphi,$$

   тогда

   $$\sqrt{5}\cos \alpha-2\sqrt{5}\sin \alpha=5(\cos \varphi \cos \alpha-\sin \varphi \sin \alpha)=5\cos(\alpha+\varphi).$$

   Следовательно, наибольшее значение равно

   $$5.$$

3. $$3\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{10}\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\sin \alpha+\frac{1}{\sqrt{10}}\cos \alpha\right).$$

   Пусть

   $$\frac{3}{\sqrt{10}}=\cos \varphi,\qquad \frac{1}{\sqrt{10}}=\sin \varphi,$$

   тогда

   $$3\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{10}(\cos \varphi \sin \alpha+\sin \varphi \cos \alpha)=\sqrt{10}\sin(\alpha+\varphi).$$

   Так как $$\sin x\le 1,$$ то

   $$\max(3\sin \alpha+\cos \alpha)=\sqrt{10}.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$5$$; 3) $$\sqrt{10}$$.