Упр.24.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(10°)+tg(50°)+v3tg(10°)tg(50°);
2) tg(70°)-tg(25°)-tg(70°)tg(25°).

1) Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}.$$

Тогда

$$ \tg 10^\circ+\tg 50^\circ+\sqrt{3}\,\tg 10^\circ\tg 50^\circ = \frac{\tg 10^\circ+\tg 50^\circ}{1-\tg 10^\circ\tg 50^\circ}\,(1-\tg 10^\circ\tg 50^\circ)+\sqrt{3}\,\tg 10^\circ\tg 50^\circ. $$

Так как $$10^\circ+50^\circ=60^\circ,$$ получаем

$$ \tg(10^\circ+50^\circ)\,(1-\tg 10^\circ\tg 50^\circ)+\sqrt{3}\,\tg 10^\circ\tg 50^\circ = \tg 60^\circ\,(1-\tg 10^\circ\tg 50^\circ)+\sqrt{3}\,\tg 10^\circ\tg 50^\circ. $$

Поскольку $$\tg 60^\circ=\sqrt{3},$$ имеем

$$ \sqrt{3}\,(1-\tg 10^\circ\tg 50^\circ)+\sqrt{3}\,\tg 10^\circ\tg 50^\circ=\sqrt{3}. $$

2) Используем формулу разности тангенсов:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$

Тогда

$$ \tg 70^\circ-\tg 25^\circ-\tg 70^\circ\tg 25^\circ = \frac{\tg 70^\circ-\tg 25^\circ}{1+\tg 70^\circ\tg 25^\circ}\,(1+\tg 70^\circ\tg 25^\circ)-\tg 70^\circ\tg 25^\circ. $$

Так как $$70^\circ-25^\circ=45^\circ,$$ получаем

$$ \tg(70^\circ-25^\circ)\,(1+\tg 70^\circ\tg 25^\circ)-\tg 70^\circ\tg 25^\circ = \tg 45^\circ\,(1+\tg 70^\circ\tg 25^\circ)-\tg 70^\circ\tg 25^\circ. $$

Поскольку $$\tg 45^\circ=1,$$ имеем

$$ 1+\tg 70^\circ\tg 25^\circ-\tg 70^\circ\tg 25^\circ=1. $$

Ответ

1) $$\sqrt{3}$$; 2) $$1$$.