Упр.24.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(75°); 2) sin(75°).

Используем формулы сложения:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta,$$
$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Представим $$75^\circ$$ как $$45^\circ+30^\circ$$.

$$\cos 75^\circ=\cos(45^\circ+30^\circ)=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12$$
$$=\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}.$$

$$\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ+\cos45^\circ\sin30^\circ$$
$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12$$
$$=\frac{\sqrt6}{4}+\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$

Ответ

$$\cos75^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4},\qquad \sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}.$$