Упр.24.17 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(15°); 2) sin(105°); 3) ctg(105°).

1) $$\sin 15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)$$

По формуле разности синусов:

$$\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin45^\circ\cos30^\circ-\sin30^\circ\cos45^\circ$$

$$=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$

2) $$\sin 105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin(60^\circ+45^\circ)=\sin60^\circ\cos45^\circ+\sin45^\circ\cos60^\circ$$

$$=\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$

3) $$\operatorname{ctg}105^\circ=\operatorname{ctg}(60^\circ+45^\circ)$$

Используем формулу:

$$\operatorname{ctg}(a+b)=\frac{\operatorname{ctg}a\cdot\operatorname{ctg}b-1}{\operatorname{ctg}a+\operatorname{ctg}b}$$

Тогда

$$\operatorname{ctg}105^\circ=\frac{\operatorname{ctg}60^\circ\cdot\operatorname{ctg}45^\circ-1}{\operatorname{ctg}60^\circ+\operatorname{ctg}45^\circ}$$

$$=\frac{\frac{1}{\sqrt3}\cdot1-1}{\frac{1}{\sqrt3}+1}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}$$

Рационализуем знаменатель:

$$\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}\cdot\frac{1-\sqrt3}{1-\sqrt3}=\frac{(1-\sqrt3)^2}{1-3}=\frac{1-2\sqrt3+3}{-2}=\sqrt3-2$$

Ответ

1) $$\sin 15^\circ=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$$; 2) $$\sin 105^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$$; 3) $$\operatorname{ctg}105^\circ=\sqrt3-2$$.