Упр.24.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(2?)+sin(2?)tg(?);
2) cos(4?)-sin(4?)ctg(2?).

1) Преобразуем выражение, используя формулу $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$:

$$ \cos 2\alpha+\sin 2\alpha \tg \alpha =\cos 2\alpha+\frac{\sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \cos 2\alpha+\frac{\sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{\cos 2\alpha \cos \alpha+\sin 2\alpha \sin \alpha}{\cos \alpha} $$

По формуле $$\cos (x-y)=\cos x \cos y+\sin x \sin y$$ получаем:

$$ \frac{\cos(2\alpha-\alpha)}{\cos \alpha} =\frac{\cos \alpha}{\cos \alpha}=1 $$

2) Используем формулу $$\ctg 2\alpha=\frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}$$:

$$ \cos 4\alpha-\sin 4\alpha \ctg 2\alpha =\cos 4\alpha-\frac{\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \cos 4\alpha-\frac{\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} =\frac{\cos 4\alpha \sin 2\alpha-\sin 4\alpha \cos 2\alpha}{\sin 2\alpha} $$

По формуле $$\sin (x-y)=\sin x \cos y-\cos x \sin y$$ имеем:

$$ \frac{\sin(2\alpha-4\alpha)}{\sin 2\alpha} =\frac{\sin(-2\alpha)}{\sin 2\alpha} =-1 $$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$-1$$.