Упр.24.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(?/2)ctg(?/4)+sin(?/2);
2) 1/(1+tg(?)tg(2?)).

Подробный ответ

1) Преобразуем выражение, используя формулу котангенса и формулу суммы косинуса и синуса:

$$ \cos \frac{\alpha}{2}\ctg \frac{\alpha}{4}+\sin \frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\alpha}{2}\cdot \frac{\cos \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}}+\sin \frac{\alpha}{2} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}\cos \frac{\alpha}{4}+\sin \frac{\alpha}{2}\sin \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos \left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\alpha}{4}\right)}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{4}}{\sin \frac{\alpha}{4}} = \ctg \frac{\alpha}{4} $$

2) Упростим выражение:

$$ \frac{1}{1+\tg \alpha \tg 2\alpha} = \frac{1}{1+\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\cdot \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha \cos 2\alpha+\sin \alpha \sin 2\alpha} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos(\alpha-2\alpha)} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos(-\alpha)} = \frac{\cos \alpha \cos 2\alpha}{\cos \alpha} = \cos 2\alpha $$