Упр.24.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg(?)-tg(?)=sin(?-?)/(cos(?)cos(?));
2) ctg(?)+tg(?)=cos(?-?)/(sin(?)cos(?)).

1) Преобразуем левую часть:

$$ \tg \alpha — \tg \beta = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} — \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \tg \alpha — \tg \beta = \frac{\sin \alpha \cos \beta — \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} $$

По формуле синуса разности:

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta $$

Следовательно,

$$ \tg \alpha — \tg \beta = \frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta} $$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$ \ctg \alpha + \tg \beta = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ \ctg \alpha + \tg \beta = \frac{\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\sin \alpha \cos \beta} $$

По формуле косинуса разности:

$$ \cos(\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta $$

Следовательно,

$$ \ctg \alpha + \tg \beta = \frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sin \alpha \cos \beta} $$

Тождество доказано.

Ответ

1) $$\tg \alpha-\tg \beta=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos \alpha \cos \beta}$$

2) $$\ctg \alpha+\tg \beta=\frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sin \alpha \cos \beta}$$