Упр.24.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.11. Дано: tg(?)=1/2, sin(?)=3/5, 0 < ? < ?/2. Найдите tg(?+?). *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 merzlyak_ugl10 24-11 1012

Так как $$\sin \beta=\frac{3}{5}$$ и $$0<\beta<\frac{\pi}{2},$$ то $$\cos \beta>0.$$ Найдём косинус:

$$\cos \beta=\sqrt{1-\sin^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Тогда

$$\tg \beta=\frac{\sin \beta}{\cos \beta}=\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}.$$

Используем формулу суммы тангенсов:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha\cdot \tg \beta}.$$

Подставим значения:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac12+\frac34}{1-\frac12\cdot\frac34} =\frac{\frac{2}{4}+\frac{3}{4}}{1-\frac{3}{8}} =\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{8}} =2.$$

Ответ

$$2$$