Упр.24.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 24.10. Найдите sin(?-?), если sin(?)=-15/17, ? < ? < 3?/2 и cos(?)=7/25, 3?/2 < ? < 2?.

Подробный ответ

Найдём недостающие значения синуса и косинуса по данным условиям.

Так как $$\sin \alpha=-\frac{15}{17}$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$\alpha$$ лежит в III четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$ Тогда

$$ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{225}{289}} =-\sqrt{\frac{64}{289}} =-\frac{8}{17}. $$

Так как $$\cos \beta=\frac{7}{25}$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\beta<2\pi,$$ то угол $$\beta$$ лежит в IV четверти, значит $$\sin \beta<0.$$ Тогда

$$ \sin \beta=-\sqrt{1-\cos^2\beta} =-\sqrt{1-\frac{49}{625}} =-\sqrt{\frac{576}{625}} =-\frac{24}{25}. $$

Теперь найдём разность:

$$ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta. $$

Подставим значения:

$$ \sin(\alpha-\beta)=\left(-\frac{15}{17}\right)\cdot\frac{7}{25}-\left(-\frac{8}{17}\right)\cdot\left(-\frac{24}{25}\right). $$

$$ \sin(\alpha-\beta)=-\frac{105}{425}-\frac{192}{425} =-\frac{297}{425}. $$