Упр.23.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Найдите значение выражения:
   
   1) $$\frac{\sin(?) — \cos(?)}{\sin(?) + \cos(?)}$$, если $$\tg(?)=\frac{1}{3}$$;
   
   2) $$\frac{2\cos^2(?) — 7\sin^2(?)}{3\cos^2(?) + 4\sin(?)\cos(?)}$$, если $$\ctg(?)=-2$$;
   
   3) $$\frac{8\sin(?) — 3\cos(?)}{\sin^3(?) + 5\sin^2(?)\cos(?) — 8\cos^3(?)}$$, если $$\tg(?)=-3$$.

1) $$M=\frac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}, \qquad \tg \alpha=\frac13.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

$$M=\frac{\tg \alpha-1}{\tg \alpha+1}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\frac13$$:

$$M=\frac{\frac13-1}{\frac13+1}=\frac{-\frac23}{\frac43}=-\frac12.$$

2) $$M=\frac{2\cos^2 \alpha-7\sin^2 \alpha}{3\cos^2 \alpha+4\sin \alpha \cos \alpha}, \qquad \ctg \alpha=-2.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\sin^2 \alpha$$:

$$M=\frac{2\ctg^2 \alpha-7}{3\ctg^2 \alpha+4\ctg \alpha}.$$

Подставим $$\ctg \alpha=-2$$:

$$M=\frac{2\cdot (-2)^2-7}{3\cdot (-2)^2+4\cdot (-2)}=\frac{8-7}{12-8}=\frac14.$$

3) $$M=\frac{8\sin \alpha-3\cos \alpha}{\sin^3 \alpha+5\sin^2 \alpha \cos \alpha-8\cos^3 \alpha}, \qquad \tg \alpha=-3.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos^3 \alpha$$:

$$M=\frac{8\tg \alpha-3\tg^2 \alpha}{\tg^3 \alpha+5\tg^2 \alpha-8}.$$

Подставим $$\tg \alpha=-3$$:

$$M=\frac{8\cdot (-3)-3\cdot (-3)^2}{(-3)^3+5\cdot (-3)^2-8}=\frac{-24-27}{-27+45-8}=\frac{-51}{10}.$$

Ответ

1) $$-\frac12$$; 2) $$\frac14$$; 3) $$-\frac{51}{10}$$.