Упр.23.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 23.8. Докажите тождество 2(sin^6(?)+cos^6(?))-3(sin^4(?)+cos^4(?))=-1.

Преобразуем левую часть:

$$ 2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha) $$
$$ =2\sin^6\alpha+2\cos^6\alpha-3\sin^4\alpha-3\cos^4\alpha $$
$$ =2\sin^4\alpha(\sin^2\alpha-1)+2\cos^4\alpha(\cos^2\alpha-1)-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha $$
$$ =2\sin^4\alpha(-\cos^2\alpha)+2\cos^4\alpha(-\sin^2\alpha)-\sin^4\alpha-\cos^4\alpha $$
$$ =-2\sin^4\alpha\cos^2\alpha-2\sin^2\alpha\cos^4\alpha-(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha) $$
$$ =-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)-(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha). $$

Используем тождество $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$:

$$ =-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha-(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha). $$

Теперь заметим, что

$$ (\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2=\sin^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha=1. $$

Значит,

$$ \sin^4\alpha+2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha=1, $$
$$ 2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)=-1. $$

Ответ

$$ 2(\sin^6\alpha+\cos^6\alpha)-3(\sin^4\alpha+\cos^4\alpha)=-1. $$