Упр.23.7 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) sin^4(?)+cos^4(?)-sin^6(?)-cos^6(?)=sin^2(?)cos^2(?);
2) sin^6(?)+cos^6(?)+3sin^2(?)cos^2(?)=1.

Подробный ответ

1) Преобразуем левую часть, используя формулы $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$ и $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$:

$$ \sin^4\alpha+\cos^4\alpha-\sin^6\alpha-\cos^6\alpha $$
$$ =\sin^4\alpha(1-\sin^2\alpha)+\cos^4\alpha(1-\cos^2\alpha) $$
$$ =\sin^4\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha\sin^2\alpha $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha. $$

Тождество доказано.

2) Рассмотрим левую часть:

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$
$$ =\sin^2\alpha(1-\cos^4\alpha)+\cos^2\alpha(1-\sin^4\alpha)+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$
$$ =\sin^2\alpha\bigl(1-\cos^2\alpha\bigr)\bigl(1+\cos^2\alpha\bigr)+\cos^2\alpha\bigl(1-\sin^2\alpha\bigr)\bigl(1+\sin^2\alpha\bigr)+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha(1+\cos^2\alpha)+\sin^2\alpha\cos^2\alpha(1+\sin^2\alpha)+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha\bigl(1+\sin^2\alpha+1+\cos^2\alpha+3\bigr) $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha(5+\sin^2\alpha+\cos^2\alpha) $$
$$ =\sin^2\alpha\cos^2\alpha\cdot 6. $$

Здесь удобнее воспользоваться тождеством

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha=(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^3-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=1-3\sin^2\alpha\cos^2\alpha. $$

Тогда

$$ \sin^6\alpha+\cos^6\alpha+3\sin^2\alpha\cos^2\alpha=1. $$

Тождество доказано.