Упр.23.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (cos^3(?)-sin^3(?))/(1+sin(?)cos(?))=cos(?)-sin(?);
2) (v3-2sin(?))/(2cos(?)-1)=(1+2cos(?))/(2sin(?)+v3);
3) (sin(?)+tg(?))/(1+cos(?))=tg(?);
4) sin^2(?)/(ctg^2(?)-cos^2(?))=tg^4(?).

1. $$\frac{\cos^3\alpha-\sin^3\alpha}{1+\sin\alpha\cos\alpha}$$
   
   Разложим разность кубов:
   $$\cos^3\alpha-\sin^3\alpha=(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha).$$
   Тогда
   $$\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(\cos^2\alpha+\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha)}{1+\sin\alpha\cos\alpha}.$$
   Так как $$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1,$$ получаем
   $$\frac{(\cos\alpha-\sin\alpha)(1+\sin\alpha\cos\alpha)}{1+\sin\alpha\cos\alpha}=\cos\alpha-\sin\alpha.$$

2. $$\frac{\sqrt3-2\sin\alpha}{2\cos\alpha-1}=\frac{1+2\cos\alpha}{2\sin\alpha+\sqrt3}.$$
   
   Перемножим крест-накрест:
   $$\frac{(\sqrt3-2\sin\alpha)(2\sin\alpha+\sqrt3)}{(2\cos\alpha-1)(1+2\cos\alpha)}=1.$$
   Раскроем скобки:
   $$3-4\sin^2\alpha=4\cos^2\alpha-1.$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$3-4\sin^2\alpha-4\cos^2\alpha+1=0,$$
   $$4(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)=4.$$
   Это верно, так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.$$

3. $$\frac{\sin\alpha+\tg\alpha}{1+\cos\alpha}=\tg\alpha.$$
   
   Заменим $$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$:
   $$\frac{\sin\alpha+\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1+\cos\alpha} =\frac{\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}.$$
   Вынесем $$\sin\alpha$$:
   $$\frac{\sin\alpha(1+\cos\alpha)}{\cos\alpha(1+\cos\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\tg\alpha.$$

4. $$\frac{\sin^2\alpha}{\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha}=\tg^4\alpha.$$
   
   Заменим $$\ctg^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}$$:
   $$\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}-\cos^2\alpha =\cos^2\alpha\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}-1\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\sin^2\alpha}{\ctg^2\alpha-\cos^2\alpha} =\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha\left(\frac{1}{\sin^2\alpha}-1\right)} =\frac{\sin^4\alpha}{\cos^2\alpha(1-\sin^2\alpha)}.$$
   Так как $$1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha,$$ получаем
   $$\frac{\sin^4\alpha}{\cos^4\alpha}=\tg^4\alpha.$$

Ответ

Все тождества доказаны.