Упр.23.4 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

1) cos(?)=12/13 и 0 < ? < ?/2; 3) tg(?)=-1/3 и 3?/2 < ? < 2?; 2) sin(?)=-v3/4 и ? < ? < 3?/2; 4) ctg(?)=-7 и ?/2 < ? < ?.

Подробный ответ

$$\cos \alpha=\frac{12}{13}, \quad 0<\alpha<\frac{\pi}{2}.$$
Так как угол в I четверти, то $$\sin \alpha>0.$$ Найдём синус:
$$ \sin \alpha=\sqrt{1-\cos^2 \alpha} =\sqrt{1-\frac{144}{169}} =\sqrt{\frac{25}{169}} =\frac{5}{13}. $$
Тогда
$$ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{5/13}{12/13} =\frac{5}{12}, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\frac{12}{5}. $$
$$\sin \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{4}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Во III четверти $$\cos \alpha<0.$$ Тогда
$$ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha} =-\sqrt{1-\frac{3}{16}} =-\sqrt{\frac{13}{16}} =-\frac{\sqrt{13}}{4}. $$
Теперь
$$ \tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} =\frac{-\sqrt{3}/4}{-\sqrt{13}/4} =\sqrt{\frac{3}{13}}, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha} =\sqrt{\frac{13}{3}}. $$
$$\tg \alpha=-\frac{1}{3}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$
В IV четверти $$\cos \alpha>0,\ \sin \alpha<0.$$ Найдём косинус:
$$ \cos \alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\tg^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}} =\sqrt{\frac{9}{10}} =\frac{3\sqrt{10}}{10}. $$
Тогда
$$ \sin \alpha=\cos \alpha\cdot \tg \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) =-\frac{\sqrt{10}}{10}, \qquad \ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-3. $$
$$\ctg \alpha=-7, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$
Во II четверти $$\sin \alpha>0,\ \cos \alpha<0.$$ Найдём синус:
$$ \sin \alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\ctg^2 \alpha}} =\sqrt{\frac{1}{1+49}} =\sqrt{\frac{1}{50}} =\frac{\sqrt{2}}{10}. $$
Тогда
$$ \cos \alpha=\sin \alpha\cdot \ctg \alpha =\frac{\sqrt{2}}{10}\cdot (-7) =-\frac{7\sqrt{2}}{10}, \qquad \tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=-\frac{1}{7}. $$