Упр.23.3 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(?)=1/2; 3) tg(?)=2 и ? < ? < 3?/2; 2) sin(?)=0,6 и ?/2 < ? < ?; 4) ctg(?)=-4/3 и 3?/2 < ? < 2?.

1. Если $$\cos \alpha=\frac12,$$ то

   $$\sin \alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\pm\sqrt{1-\frac14}=\pm\sqrt{\frac34}=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда
   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\pm\frac{\sqrt3}{2}:\frac12=\pm\sqrt3,$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$$

2. Если $$\sin \alpha=0{,}6=\frac35$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол лежит во II четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$

   $$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-0{,}36}=-\sqrt{0{,}64}=-0{,}8=-\frac45.$$

   $$\tg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{3/5}{-4/5}=-\frac34,$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=-\frac43.$$

3. Если $$\tg \alpha=2$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в III четверти, значит $$\sin \alpha<0$$ и $$\cos \alpha<0.$$

   $$\cos \alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=-\frac{1}{\sqrt{1+4}}=-\frac{1}{\sqrt5}=-\frac{\sqrt5}{5}.$$

   $$\sin \alpha=\tg \alpha\cdot \cos \alpha=2\cdot\left(-\frac{\sqrt5}{5}\right)=-\frac{2\sqrt5}{5},$$
   $$\ctg \alpha=\frac{1}{\tg \alpha}=\frac12.$$

4. Если $$\ctg \alpha=-\frac43$$ и $$\frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,$$ то угол лежит в IV четверти, значит $$\sin \alpha<0,$$ $$\cos \alpha>0.$$

   $$\sin \alpha=-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}=-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}=-\sqrt{\frac{9}{25}}=-\frac35.$$

   $$\cos \alpha=\sin \alpha\cdot \ctg \alpha=\left(-\frac35\right)\cdot\left(-\frac43\right)=\frac45,$$
   $$\tg \alpha=\frac{1}{\ctg \alpha}=-\frac34.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\pm\frac{\sqrt3}{2},\ \tg \alpha=\pm\sqrt3,\ \ctg \alpha=\pm\frac{\sqrt3}{3};$$
2) $$\cos \alpha=-\frac45,\ \tg \alpha=-\frac34,\ \ctg \alpha=-\frac43;$$
3) $$\sin \alpha=-\frac{2\sqrt5}{5},\ \cos \alpha=-\frac{\sqrt5}{5},\ \ctg \alpha=\frac12;$$
4) $$\sin \alpha=-\frac35,\ \cos \alpha=\frac45,\ \tg \alpha=-\frac34.$$