Упр.23.20 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 23.20. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=sin^10(x)+cos^13(x).

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$f(x)=\sin^{10}x+\cos^{13}x.$$

Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то при чётной степени

$$\sin^{10}x\ge 0.$$

Кроме того, $$-1\le \cos x\le 1,$$ а значит

$$\cos^{13}x\le \cos^2 x,$$

поскольку при $$|\,\cos x\,|\le 1$$ увеличение степени не увеличивает значение по модулю, а при нечётной степени знак сохраняется.

Тогда

$$f(x)=\sin^{10}x+\cos^{13}x\le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Следовательно, наибольшее значение функции не превосходит $$1.$$ Оно достигается при $$\sin x=0,\ \cos x=1,$$ например при $$x=2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

Для наименьшего значения заметим, что

$$\sin^{10}x\ge 0,\qquad \cos^{13}x\ge -1,$$

поэтому

$$f(x)\ge -1.$$

Равенство достигается при $$\sin x=0,\ \cos x=-1,$$ например при $$x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$