Упр.23.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Номировский, Поляков 10 класс, Просвещение: 23.19. Найдите наибольшее значение функции f(x)=sin^14(x)+cos^14(x).

Так как для любого $$x$$ выполняется $$0 \le \sin^2 x \le 1$$ и $$0 \le \cos^2 x \le 1$$, то при возведении в большую степень получаем

$$\sin^{14} x \le \sin^2 x, \qquad \cos^{14} x \le \cos^2 x.$$

Тогда

$$f(x)=\sin^{14} x+\cos^{14} x \le \sin^2 x+\cos^2 x=1.$$

Равенство достигается, например, при $$\sin x=0$$ и $$\cos x=\pm 1$$, то есть при $$x=\pi k,\ k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

$$1$$