Упр.23.16 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) 3sin^2(?)+2cos(?); 3) 2sin^2(?)+3tg(?)ctg(?).
2) 1+vsin^2(?)+2cos^2(?);

1. $$y=3\sin^2\alpha+2\cos\alpha.$$

   Так как $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha,$$ получаем

   $$y=3-3\cos^2\alpha+2\cos\alpha.$$

   Обозначим $$x=\cos\alpha,$$ тогда $$x\in[-1;1]$$ и

   $$y=-3x^2+2x+3.$$

   Это парабола, ветви направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

   $$x_0=-\frac{2}{2\cdot(-3)}=\frac13.$$

   Тогда

   $$y_{\max}= -3\left(\frac13\right)^2+2\cdot\frac13+3=\frac{10}{3}.$$

   Наименьшее значение на отрезке $$[-1;1]$$ достигается на концах:

   $$y(-1)=-3\cdot1+2\cdot(-1)+3=-2,$$

   $$y(1)=-3\cdot1+2\cdot1+3=2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=-2.$$

2. $$y=1+\sqrt{\sin^2\alpha}+2\cos^2\alpha.$$

   Так как $$\sqrt{\sin^2\alpha}=|\sin\alpha|,$$ а $$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha,$$ то

   $$y=1+|\sin\alpha|+2(1-\sin^2\alpha)=3+|\sin\alpha|-2\sin^2\alpha.$$

   Обозначим $$x=|\sin\alpha|,$$ тогда $$x\in[0;1]$$ и

   $$y=3+x-2x^2.$$

   Это парабола, ветви направлены вниз. Вершина:

   $$x_0=-\frac{1}{2\cdot(-2)}=\frac14.$$

   Тогда

   $$y_{\max}=3+\frac14-2\left(\frac14\right)^2=3+\frac14-\frac18=\frac{25}{8}.$$

   Наименьшее значение на отрезке $$[0;1]$$ достигается на концах:

   $$y(0)=3,$$

   $$y(1)=3+1-2=2.$$

   Следовательно, $$y_{\min}=2.$$

3. $$y=2\sin^2\alpha+3\tg\alpha\ctg\alpha.$$

   Выражение $$\tg\alpha\ctg\alpha=1$$ определено только при $$\sin\alpha\neq0$$ и $$\cos\alpha\neq0.$$ Тогда

   $$y=2\sin^2\alpha+3.$$

   Так как $$0<\sin^2\alpha<1,$$ то

   $$3<y<5.$$

   Значит, наименьшего и наибольшего значений выражение не принимает.

Ответ

1) $$y_{\min}=-2,\; y_{\max}=\frac{10}{3}.$$

2) $$y_{\min}=2,\; y_{\max}=\frac{25}{8}.$$

3) Наименьшего и наибольшего значений нет.