Упр.23.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) 2cos^2(?)-3sin(?); 3) 1-vcos^2(?)-2sin^2(?);
2) tg^2(?)+1/cos(?); 4) 3cos^2(?)-tg(?)ctg(?).
$$y=2\cos^2\alpha-3\sin\alpha.$$
Выразим через $$\sin\alpha$$:
$$y=2-2\sin^2\alpha-3\sin\alpha.$$
Положим $$t=\sin\alpha$$, тогда $$-1\le t\le 1$$ и
$$y=-2t^2-3t+2.$$
Это парабола, ветви направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2\cdot(-2)}=-\frac34.$$
$$y\!\left(-\frac34\right)=-2\cdot\frac{9}{16}+ \frac{9}{4}+2=\frac{25}{8}.$$
На концах отрезка:
$$y(-1)=2-2\cdot1+3=3,$$
$$y(1)=2-2-3=-3.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-3,$$ $$y_{\max}=\frac{25}{8}.$$
$$y=\tg^2\alpha+\frac1{\cos\alpha}.$$
Используем $$\tg^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$ и $$\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$$:
$$y=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac1{\cos\alpha} =\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac1{\cos\alpha} =\frac1{\cos^2\alpha}-1+\frac1{\cos\alpha}.$$
Положим $$t=\frac1{\cos\alpha}$$. Тогда $$|t|\ge 1$$ и
$$y=t^2+t-1.$$
При $$t\ge 1$$ функция возрастает, поэтому минимум достигается при $$t=1$$:
$$y_{\min}=1^2+1-1=1.$$
При $$t\le -1$$ имеем $$y=t^2+t-1\to +\infty$$ при $$|t|\to\infty$$, значит наибольшего значения нет.
$$y=1-\sqrt{\cos^2\alpha}-2\sin^2\alpha.$$
Так как $$\sqrt{\cos^2\alpha}=|\cos\alpha|$$, то
$$y=1-|\cos\alpha|-2\sin^2\alpha.$$
Пусть $$t=|\cos\alpha|$$, тогда $$0\le t\le 1$$ и $$\sin^2\alpha=1-t^2$$. Получаем
$$y=1-t-2(1-t^2)=2t^2-t-1.$$
Это парабола, ветви вверх. Вершина:
$$t_0=-\frac{b}{2a}=\frac14.$$
$$y\!\left(\frac14\right)=2\cdot\frac1{16}-\frac14-1=-\frac98.$$
На концах отрезка:
$$y(0)=-1,\qquad y(1)=0.$$
Следовательно, $$y_{\min}=-\frac98,$$ $$y_{\max}=0.$$
$$y=3\cos^2\alpha-\tg\alpha\ctg\alpha.$$
Так как $$\tg\alpha\ctg\alpha=1$$ при существовании обеих функций, то
$$y=3\cos^2\alpha-1.$$
Но при этом должны выполняться условия $$\sin\alpha\ne0$$ и $$\cos\alpha\ne0$$, значит $$0<\cos^2\alpha<1.$$
Тогда
$$-1<y<2.$$
Наименьшего и наибольшего значений нет.
Ответ
1) $$y_{\min}=-3,\ y_{\max}=\frac{25}{8}$$; 2) $$y_{\min}=1,\ y_{\max}$$ нет; 3) $$y_{\min}=-\frac98,\ y_{\max}=0$$; 4) наименьшего и наибольшего значений нет.
