Упр.23.14 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) tg^2(?)+ctg^2(?); 2) tg^3(?)+ctg^3(?);
3) (cos(?)+sin(?))^2.

Пусть $$\tg \alpha+\ctg \alpha=b.$$

1. Возведём равенство в квадрат:

   $$ (\tg \alpha+\ctg \alpha)^2=b^2 $$

   $$ \tg^2 \alpha+2\tg \alpha\ctg \alpha+\ctg^2 \alpha=b^2 $$

   Так как $$\tg \alpha\ctg \alpha=1,$$ то

   $$ \tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=b^2-2. $$

2. Используем формулу суммы кубов:

   $$ \tg^3 \alpha+\ctg^3 \alpha=(\tg \alpha+\ctg \alpha)(\tg^2 \alpha-\tg \alpha\ctg \alpha+\ctg^2 \alpha) $$

   $$ =b\bigl((\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha)-1\bigr) $$

   $$ =b\bigl((b^2-2)-1\bigr)=b(b^2-3). $$

3. Найдём значение $$\bigl(\cos \alpha+\sin \alpha\bigr)^2.$$

   Из условия

   $$ \tg \alpha+\ctg \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}+\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha\cos \alpha} =\frac{1}{\sin \alpha\cos \alpha}=b, $$

   значит,

   $$ \sin \alpha\cos \alpha=\frac{1}{b}. $$

   Тогда

   $$ (\cos \alpha+\sin \alpha)^2=\cos^2 \alpha+2\sin \alpha\cos \alpha+\sin^2 \alpha $$

   $$ =1+2\sin \alpha\cos \alpha=1+\frac{2}{b}=\frac{b+2}{b}. $$

Ответ

$$\tg^2 \alpha+\ctg^2 \alpha=b^2-2,$$ $$\tg^3 \alpha+\ctg^3 \alpha=b(b^2-3),$$ $$\bigl(\cos \alpha+\sin \alpha\bigr)^2=\frac{b+2}{b}.$$