Упр.23.13 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?)cos(?); 2) sin^3(?)+cos^3(?);
3) sin^6(?)+cos^6(?).

Из равенства $$\sin \alpha+\cos \alpha=b$$ возведём обе части в квадрат:

$$ (\sin \alpha+\cos \alpha)^2=b^2 $$

$$ \sin^2 \alpha+2\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha=b^2 $$

Так как $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1,$$ то

$$ 1+2\sin \alpha\cos \alpha=b^2 $$

откуда

$$ \sin \alpha\cos \alpha=\frac{b^2-1}{2}. $$

1) Найдём $$\sin \alpha\cos \alpha$$:

$$ \sin \alpha\cos \alpha=\frac{b^2-1}{2}. $$

2) Используем формулу суммы кубов:

$$ \sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=(\sin \alpha+\cos \alpha)(\sin^2 \alpha-\sin \alpha\cos \alpha+\cos^2 \alpha). $$

Тогда

$$ \sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha=b\left(1-\sin \alpha\cos \alpha\right) $$

$$ =b\left(1-\frac{b^2-1}{2}\right)=\frac{b(3-b^2)}{2}. $$

3) Для суммы шестых степеней воспользуемся тождеством:

$$ \sin^6 \alpha+\cos^6 \alpha=(\sin^3 \alpha+\cos^3 \alpha)^2-2\sin^3 \alpha\cos^3 \alpha. $$

Так как

$$ \sin^3 \alpha\cos^3 \alpha=(\sin \alpha\cos \alpha)^3=\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^3, $$

то

$$ \sin^6 \alpha+\cos^6 \alpha= \left(\frac{b(3-b^2)}{2}\right)^2-2\left(\frac{b^2-1}{2}\right)^3. $$

Упростим:

$$ \sin^6 \alpha+\cos^6 \alpha= \frac{b^2(3-b^2)^2}{4}-\frac{(b^2-1)^3}{4} $$

$$ =\frac{b^2(9-6b^2+b^4)-\left(b^6-3b^4+3b^2-1\right)}{4} $$

$$ =\frac{1+6b^2-3b^4}{4}. $$

Ответ

$$ 1)\ \frac{b^2-1}{2};\qquad 2)\ \frac{b(3-b^2)}{2};\qquad 3)\ \frac{1+6b^2-3b^4}{4}. $$