Упр.23.12 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)
1) sin(?)-v(ctg^2(?)-cos^2(?)), если 180° < ? < 360°; 2) v((1-cos(?))/(1+cos(?)))-v((1+cos(?))/(1-cos(?))), если ? < ? < 3?/2; 3) v(4cos^2(?)+4cos(?)+1)-v(4-4sin^2(?)), если 2?/3????.
$$\sin \alpha-\sqrt{\ctg^2 \alpha-\cos^2 \alpha}, \quad 180^\circ<\alpha<360^\circ.$$
$$\ctg^2 \alpha-\cos^2 \alpha=\frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}-\cos^2 \alpha =\frac{\cos^2 \alpha(1-\sin^2 \alpha)}{\sin^2 \alpha} =\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}.$$
Тогда
$$\sqrt{\ctg^2 \alpha-\cos^2 \alpha}=\sqrt{\frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha}}=\frac{\cos^2 \alpha}{|\sin \alpha|}.$$
Так как $$180^\circ<\alpha<360^\circ,$$ то $$\sin \alpha<0,$$ значит $$|\sin \alpha|=-\sin \alpha.$$$$\sin \alpha-\sqrt{\ctg^2 \alpha-\cos^2 \alpha} =\sin \alpha+\frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha}{\sin \alpha} =\frac{1}{\sin \alpha}.$$
$$\sqrt{\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}}-\sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{1-\cos \alpha}}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$M=\frac{(1-\cos \alpha)-(1+\cos \alpha)}{\sqrt{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)}}= \frac{-2\cos \alpha}{\sqrt{1-\cos^2 \alpha}}.$$Так как $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2},$$ то $$\sin \alpha<0,$$ поэтому
$$\sqrt{1-\cos^2 \alpha}=\sqrt{\sin^2 \alpha}=|\sin \alpha|=-\sin \alpha.$$
Тогда
$$M=\frac{-2\cos \alpha}{-\sin \alpha}=2\ctg \alpha.$$$$\sqrt{4\cos^2 \alpha+4\cos \alpha+1}-\sqrt{4-4\sin^2 \alpha}, \quad \frac{2\pi}{3}\le \alpha \le \pi.$$
$$4\cos^2 \alpha+4\cos \alpha+1=(2\cos \alpha+1)^2,$$
$$4-4\sin^2 \alpha=4(1-\sin^2 \alpha)=4\cos^2 \alpha.$$Тогда
$$\sqrt{4\cos^2 \alpha+4\cos \alpha+1}-\sqrt{4-4\sin^2 \alpha} =|2\cos \alpha+1|-2|\cos \alpha|.$$При $$\frac{2\pi}{3}\le \alpha \le \pi$$ имеем $$-1\le \cos \alpha \le -\frac12,$$ значит
$$2\cos \alpha+1\le 0,\quad \cos \alpha\le 0.$$
Поэтому
$$|2\cos \alpha+1|=-(2\cos \alpha+1), \quad |\cos \alpha|=-\cos \alpha.$$$$-(2\cos \alpha+1)-2(-\cos \alpha)=-1.$$
Ответ
1) $$\frac{1}{\sin \alpha}$$;
2) $$2\ctg \alpha$$;
3) $$-1$$.
