Упр.23.11 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) v(cos^2(?)(1+tg(?))+sin^2(?)(1+ctg(?)), если ? < ? < 3?/2; 2) v(1-sin^2(?)-cos^2(?)cos^2(?))/(tg(?)ctg(?)), если ? < ? < 3?/2, ?/2 < ? < ?; 3) v(2-2cos^2(?))+v(2sin^2(?)-2v2sin(?)+1), если 3?/4????.

1. $$\sqrt{\cos^2\beta(1+\tg\beta)+\sin^2\beta(1+\ctg\beta)}$$

   Раскроем скобки:
   $$\cos^2\beta+\cos^2\beta\tg\beta+\sin^2\beta+\sin^2\beta\ctg\beta.$$

   Так как
   $$\cos^2\beta\tg\beta=\sin\beta\cos\beta,\qquad \sin^2\beta\ctg\beta=\sin\beta\cos\beta,$$
   то
   $$\sqrt{\cos^2\beta+\sin^2\beta+2\sin\beta\cos\beta}=\sqrt{(\sin\beta+\cos\beta)^2}.$$

   При $$\pi<\beta<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin\beta<0$$ и $$\cos\beta<0,$$ значит
   $$\sqrt{(\sin\beta+\cos\beta)^2}=-(\sin\beta+\cos\beta).$$

2. $$\frac{\sqrt{1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\cos^2\beta}}{\tg\beta\ctg\alpha}$$

   Преобразуем выражение под корнем:
   $$1-\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\cos^2\beta=\cos^2\alpha-\cos^2\alpha\cos^2\beta=\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta).$$

   Тогда
   $$\sqrt{\cos^2\alpha(1-\cos^2\beta)}=\sqrt{\cos^2\alpha\sin^2\beta}=|\cos\alpha\sin\beta|.$$

   При $$\frac{\pi}{2}<\beta<\pi$$ и $$\pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}$$ имеем $$\sin\beta>0$$, $$\cos\alpha<0,$$ поэтому
   $$|\cos\alpha\sin\beta|=-\cos\alpha\sin\beta.$$

   Следовательно,
   $$\frac{-\cos\alpha\sin\beta}{\tg\beta\ctg\alpha}.$$
   Так как
   $$\tg\beta\ctg\alpha=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}\cdot\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},$$
   то
   $$\frac{-\cos\alpha\sin\beta}{\tg\beta\ctg\alpha}=-\cos\beta\sin\alpha.$$

3. $$\sqrt{2-2\cos^2\beta}+\sqrt{2\sin^2\beta-2\sqrt2\sin\beta+1}$$

   Первый корень:
   $$\sqrt{2-2\cos^2\beta}=\sqrt{2(1-\cos^2\beta)}=\sqrt{2\sin^2\beta}=\sqrt2\,|\sin\beta|.$$

   При $$\frac{3\pi}{4}\le \beta\le \pi$$ имеем $$\sin\beta\ge 0,$$ значит
   $$\sqrt{2-2\cos^2\beta}=\sqrt2\sin\beta.$$

   Второй корень:
   $$2\sin^2\beta-2\sqrt2\sin\beta+1=(\sqrt2\sin\beta-1)^2,$$
   поэтому
   $$\sqrt{2\sin^2\beta-2\sqrt2\sin\beta+1}=|\sqrt2\sin\beta-1|.$$

   Так как $$\frac{3\pi}{4}\le \beta\le \pi,$$ то $$0\le \sin\beta\le \frac{\sqrt2}{2},$$ следовательно
   $$\sqrt2\sin\beta-1\le 0,$$
   и
   $$|\sqrt2\sin\beta-1|=1-\sqrt2\sin\beta.$$

   Тогда
   $$\sqrt2\sin\beta+(1-\sqrt2\sin\beta)=1.$$

Ответ

1) $$-\sin\beta-\cos\beta$$;
2) $$-\cos\beta\sin\alpha$$;
3) $$1$$.