Упр.23.10 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (5cos(?)+6sin(?))/(3sin(?)-7cos(?)), если tg(?)=1/2;
2) (2sin^3(?)+3cos^3(?))/(5sin(?)-cos(?)), если tg(?)=-4.

1) Пусть

$$M=\frac{5\cos \alpha+6\sin \alpha}{3\sin \alpha-7\cos \alpha}, \qquad \tg \alpha=\frac12.$$

Разделим числитель и знаменатель на $$\cos \alpha$$:

$$M=\frac{5+6\tg \alpha}{3\tg \alpha-7}.$$

Подставим $$\tg \alpha=\frac12$$:

$$M=\frac{5+6\cdot \frac12}{3\cdot \frac12-7} =\frac{5+3}{\frac32-7} =\frac{8}{-\frac{11}{2}} =-\frac{16}{11}.$$

2) Пусть

$$M=\frac{2\sin^3 \alpha+3\cos^3 \alpha}{5\sin \alpha-\cos \alpha}, \qquad \tg \alpha=-4.$$

Умножим числитель и знаменатель на $$\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1$$:

$$M=\frac{(2\sin^3 \alpha+3\cos^3 \alpha)(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)}{(5\sin \alpha-\cos \alpha)(\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha)}.$$

После раскрытия скобок и приведения подобных получаем:

$$M=\frac{2\tg^3 \alpha+3}{5\tg^3 \alpha+5\tg^2 \alpha-\tg^2 \alpha-1}.$$

Подставим $$\tg \alpha=-4$$:

$$M=\frac{2\cdot (-4)^3+3}{5\cdot (-4)^3+5\cdot (-4)^2-(-4)^2-1} =\frac{-128+3}{-320+80-16-1} =\frac{-125}{-257} =\frac{125}{257}.$$

Ответ

1) $$-\frac{16}{11}$$; 2) $$\frac{125}{257}$$.