Упр.22.9 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1. Постройте график функции: 1) $$y=\sqrt{(\tg x)^2}$$; 2) $$y=\ctg x-\ctg|x|$$; 3) $$y=\sqrt{-\ctg^2 x}$$; 4) $$y=\frac{|\tg x|}{\tg x}$$; 5) $$y=\tg x+\sqrt{\tg^2 x}$$; 6) $$y=\tg x\ctg x$$.

1) $$y=\left(\sqrt{\tg x}\right)^2.$$

Так как $$\sqrt{\tg x}$$ определён только при $$\tg x\ge 0,$$ то на этой области

$$y=\tg x.$$

Значит, график совпадает с графиком функции $$y=\tg x$$ на промежутках, где $$\tg x\ge 0.$$

2) $$y=\ctg x-\ctg|x|.$$

Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и

$$\ctg|x|=\ctg(-x)=-\ctg x,$$

поэтому

$$y=\ctg x-(-\ctg x)=2\ctg x.$$

Если $$x>0,$$ то $$|x|=x,$$ и

$$y=\ctg x-\ctg x=0.$$

При $$x=0$$ функция не определена.

Итак,

$$y= \begin{cases} 2\ctg x, & x<0,\\ 0, & x>0. \end{cases}$$

3) $$y=\sqrt{-\ctg^2 x}.$$

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$-\ctg^2 x\ge 0.$$

Но $$\ctg^2 x\ge 0,$$ значит возможно только

$$\ctg^2 x=0,$$

то есть

$$\ctg x=0.$$

Тогда

$$y=\sqrt{0}=0.$$

Следовательно, график — отдельные точки $$y=0$$ при

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$y=\dfrac{|\tg x|}{\tg x}.$$

Если $$\tg x>0,$$ то

$$y=1.$$

Если $$\tg x<0,$$ то

$$y=-1.$$

При $$\tg x=0$$ функция не определена.

Итак,

$$y= \begin{cases} 1, & \tg x>0,\\ -1, & \tg x<0. \end{cases}$$

5) $$y=\tg x+\sqrt{\tg^2 x}.$$

Так как $$\sqrt{\tg^2 x}=|\tg x|,$$ получаем

$$y=\tg x+|\tg x|.$$

Если $$\tg x\ge 0,$$ то $$|\tg x|=\tg x,$$ и

$$y=2\tg x.$$

Если $$\tg x<0,$$ то $$|\tg x|=-\tg x,$$ и

$$y=0.$$

Значит,

$$y= \begin{cases} 2\tg x, & \tg x\ge 0,\\ 0, & \tg x<0. \end{cases}$$

6) $$y=\tg x\ctg x.$$

Так как

$$\tg x=\dfrac{\sin x}{\cos x},\qquad \ctg x=\dfrac{\cos x}{\sin x},$$

то при $$\sin x\ne 0$$ и $$\cos x\ne 0$$

$$y=\tg x\ctg x=1.$$

Функция не определена при

$$x=\pi n,\quad x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, график — прямая $$y=1$$ с выколотыми точками в этих значениях $$x.$$

Ответ

1) $$y=\tg x$$ при $$\tg x\ge 0$$; 2) $$y=2\ctg x$$ при $$x<0$$, $$y=0$$ при $$x>0$$; 3) точки $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n,\,0\right)$$; 4) $$y=1$$ при $$\tg x>0$$, $$y=-1$$ при $$\tg x<0$$; 5) $$y=2\tg x$$ при $$\tg x\ge 0$$, $$y=0$$ при $$\tg x<0$$; 6) $$y=1$$, $$x\ne \pi n,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$