Упр.22.8 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(vctg(x))^2; 4) y=ctg(x)/|ctg(x)|;
2) y=tg(x)+tg|x|; 5) y=ctg(x)-vctg^2(x);
3) y=v(-tg^2(x)); 6) y=1/(tg(x)ctg(x).

1. $$y=(\sqrt{\ctg x})^2$$

   Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным, то $$\ctg x\ge 0.$$ Тогда

   $$y=\ctg x,\quad \ctg x\ge 0.$$

2. $$y=\tg x+\tg|x|$$

   Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ значит

   $$y=\tg x+\tg x=2\tg x.$$

   Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ а значит

   $$\tg|x|=\tg(-x)=-\tg x,$$ поэтому

   $$y=\tg x-\tg x=0.$$

3. $$y=\sqrt{-\tg^2 x}$$

   Подкоренное выражение неотрицательно, значит

   $$-\tg^2 x\ge 0.$$

   Так как $$\tg^2 x\ge 0,$$ то возможно только

   $$\tg^2 x=0,\quad \tg x=0.$$

   Тогда

   $$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   и во всех этих точках $$y=0.$$

4. $$y=\dfrac{\ctg x}{|\ctg x|}$$

   Если $$\ctg x>0,$$ то $$|\ctg x|=\ctg x,$$ и

   $$y=1.$$

   Если $$\ctg x<0,$$ то $$|\ctg x|=-\ctg x,$$ и

   $$y=-1.$$

   При $$\ctg x=0$$ выражение не определено.

5. $$y=\ctg x-\sqrt{\ctg^2 x}$$

   Так как $$\sqrt{\ctg^2 x}=|\ctg x|,$$ то

   $$y=\ctg x-|\ctg x|.$$

   Если $$\ctg x\ge 0,$$ то $$y=0.$$

   Если $$\ctg x<0,$$ то $$y=\ctg x-(-\ctg x)=2\ctg x.$$

6. $$y=\dfrac{1}{\tg x\ctg x}$$

   Так как $$\tg x\ctg x=1$$ при всех значениях, где обе функции определены, то

   $$y=1.$$

   Но нужно исключить точки, где $$\tg x$$ или $$\ctg x$$ не определены:

   $$x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\quad x\ne \pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$y=\ctg x,\ \ctg x\ge 0.$$
2) $$y=2\tg x$$ при $$x\ge 0,$$ и $$y=0$$ при $$x<0.$$
3) $$y=0$$ при $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
4) $$y=1$$ при $$\ctg x>0,$$ и $$y=-1$$ при $$\ctg x<0.$$
5) $$y=0$$ при $$\ctg x\ge 0,$$ и $$y=2\ctg x$$ при $$\ctg x<0.$$
6) $$y=1,\ x\ne \dfrac{\pi}{2}+\pi n,\ x\ne \pi n,\ n\in\mathbb Z.$$