Упр.22.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2tg(x+2?/3)-1/2;
2) y=ctg(3x-?/12).

1) Рассмотрим функцию $$y=2\tg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac12.$$

График функции $$y=\tg x$$ сдвигается:

• влево на $$\frac{2\pi}{3}$$;
• растягивается по оси $$Oy$$ в 2 раза;
• сдвигается вниз на $$\frac12$$.

Период функции не изменяется и равен $$\pi$$. Вертикальные асимптоты получаем из условия

$$x+\frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Для построения удобно отметить точку, где аргумент тангенса равен нулю:

$$x+\frac{2\pi}{3}=0 \Rightarrow x=-\frac{2\pi}{3},\qquad y=-\frac12.$$

Значит, график проходит через точку $$\left(-\frac{2\pi}{3},-\frac12\right)$$ и имеет вид обычной ветви тангенса, преобразованной указанными сдвигами и растяжением.

2) Рассмотрим функцию $$y=\ctg\left(3x-\frac{\pi}{12}\right).$$

Преобразуем аргумент:

$$3x-\frac{\pi}{12}=3\left(x-\frac{\pi}{36}\right).$$

Значит, график функции $$y=\ctg x$$:

• сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{36}$$;
• сжимается по оси $$Ox$$ в 3 раза.

Период новой функции равен

$$T=\frac{\pi}{3}.$$

Вертикальные асимптоты находятся из условия

$$3x-\frac{\pi}{12}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

Нули функции получаем из уравнения

$$3x-\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{2}+\pi k,$$

откуда

$$x=\frac{7\pi}{36}+\frac{\pi k}{3},\quad k\in\mathbb Z.$$

По этим точкам и асимптотам строится график котангенса.

Ответ

1) $$y=2\tg\left(x+\frac{2\pi}{3}\right)-\frac12$$ — график $$y=\tg x$$, сдвинутый влево на $$\frac{2\pi}{3}$$, растянутый по оси $$Oy$$ в 2 раза и сдвинутый вниз на $$\frac12$$; асимптоты: $$x=-\frac{\pi}{6}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

2) $$y=\ctg\left(3x-\frac{\pi}{12}\right)$$ — график $$y=\ctg x$$, сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{36}$$ и сжатый по оси $$Ox$$ в 3 раза; асимптоты: $$x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$