Упр.22.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:
1) $$y=\frac{1}{2}\operatorname{ctg}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1$$;
2) $$y=\operatorname{tg}\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$.

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac12\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1.$$

График функции $$y=\ctg x$$ сдвигается:

влево на $$\frac{\pi}{4}$$;
по вертикали сжимается в $$2$$ раза;
вверх на $$1$$.

Период функции не изменяется и равен $$\pi$$. Вертикальные асимптоты получаем из условия

$$x+\frac{\pi}{4}=k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=k\pi-\frac{\pi}{4}.$$

Для построения удобно отметить несколько точек. Например, при

$$x=-\frac{\pi}{4}$$

имеем

$$y=\frac12\ctg 0+1,$$

то есть точка не принадлежит графику, а при

$$x=\frac{\pi}{4}$$

получаем

$$y=\frac12\ctg\frac{\pi}{2}+1=1.$$

График — убывающая ветвь котангенса, сдвинутая и растянутая по вертикали.

2) Рассмотрим функцию $$y=\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Преобразуем аргумент:

$$2x-\frac{\pi}{3}=2\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Значит, график $$y=\tg x$$ сжимается по оси $$x$$ в $$2$$ раза и сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{6}$$.

Период новой функции равен

$$T=\frac{\pi}{2}.$$

Вертикальные асимптоты задаются уравнением

$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}.$$

Нули функции находятся из условия

$$2x-\frac{\pi}{3}=k\pi,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

По этим точкам и асимптотам строится стандартный график тангенса, сжатый по оси $$x$$ и сдвинутый вправо.

Ответ

1) $$y=\frac12\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1$$ — график $$y=\ctg x$$, сдвинутый влево на $$\frac{\pi}{4}$$, сжатый по вертикали в $$2$$ раза и поднятый на $$1$$; асимптоты: $$x=k\pi-\frac{\pi}{4}$$.

2) $$y=\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$ — график $$y=\tg x$$, сжатый по оси $$x$$ в $$2$$ раза и сдвинутый вправо на $$\frac{\pi}{6}$$; период $$\frac{\pi}{2}$$, асимптоты: $$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$$, $$k\in\mathbb Z$$.