Упр.22.5 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=(1/2)ctg(x+?/4)+1;
2) y=tg(2x-?/3).

1) Рассмотрим функцию $$y=\frac12\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1.$$

График функции $$y=\ctg x$$ сдвигаем:

• влево на $$\frac{\pi}{4}$$;
• по вертикали сжимаем в 2 раза, так как коэффициент перед $$\ctg$$ равен $$\frac12$$;
• вверх на $$1$$.

Вертикальные асимптоты получаем из условия

$$x+\frac{\pi}{4}=k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

Нули функции $$\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$$ находятся из уравнения

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k\pi,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z.$$

После преобразований график проходит через точки, например:

$$\left(0,\,\frac12\ctg\frac{\pi}{4}+1\right)=\left(0,\,\frac32\right),$$

$$\left(\frac{\pi}{4},\,1\right).$$

2) Рассмотрим функцию $$y=\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right).$$

Преобразуем аргумент:

$$2x-\frac{\pi}{3}=2\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

Значит, график $$y=\tg x$$ сдвигается вправо на $$\frac{\pi}{6}$$ и сжимается по оси $$x$$ в 2 раза.

Вертикальные асимптоты задаются уравнением

$$2x-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Нули функции находятся из уравнения

$$2x-\frac{\pi}{3}=k\pi,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Для построения удобно отметить точку

$$\left(\frac{\pi}{6},\,0\right).$$

Ответ

1) График $$y=\frac12\ctg\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+1$$ получается из графика $$y=\ctg x$$ сдвигом влево на $$\frac{\pi}{4}$$, сжатием по оси $$y$$ в 2 раза и сдвигом вверх на $$1$$; асимптоты: $$x=-\frac{\pi}{4}+k\pi$$.

2) График $$y=\tg\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$ получается из графика $$y=\tg x$$ сдвигом вправо на $$\frac{\pi}{6}$$ и сжатием по оси $$x$$ в 2 раза; асимптоты: $$x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}$$, $$k\in\mathbb Z$$.