Упр.21.6 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=2sin|x+?/6|; 2) y=-cos|x-?/4|.

1) Рассмотрим функцию $$y=2\sin\left|x+\frac{\pi}{6}\right|.$$

Пусть $$t=x+\frac{\pi}{6}.$$ Тогда график задаётся формулой $$y=2\sin|t|.$$

Так как $$\sin|t|=\begin{cases}\sin t, & t\ge 0,\\ -\sin t, & t<0,\end{cases}$$ то

$$ y= \begin{cases} 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right), & x\ge -\frac{\pi}{6},\\[4pt] -2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right), & x<-\frac{\pi}{6}. \end{cases} $$

Значит, достаточно построить график функции $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ при $$x\ge -\frac{\pi}{6}$$, а затем отразить его относительно оси $$Oy$$ в части $$x<-\frac{\pi}{6}$$.

Ключевые точки:

• при $$x=-\frac{\pi}{6}$$ имеем $$y=0$$;
• при $$x=\frac{\pi}{3}$$: $$y=2\sin\frac{\pi}{2}=2$$;
• при $$x=\frac{5\pi}{6}$$: $$y=2\sin\pi=0$$;
• при $$x=\frac{4\pi}{3}$$: $$y=2\sin\frac{3\pi}{2}=-2$$.

По этим точкам строится график, период функции равен $$2\pi$$, амплитуда — $$2$$.

2) Рассмотрим функцию $$y=-\cos\left|x-\frac{\pi}{4}\right|.$$

Пусть $$t=x-\frac{\pi}{4}.$$ Тогда

$$ y= \begin{cases} -\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right), & x\ge \frac{\pi}{4},\\[4pt] -\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right), & x<\frac{\pi}{4}. \end{cases} $$

Так как косинус — чётная функция, то $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$, следовательно, график функции симметричен относительно прямой $$x=\frac{\pi}{4}$$.

Достаточно построить часть графика функции $$y=-\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$ при $$x\ge \frac{\pi}{4}$$ и отразить её относительно прямой $$x=\frac{\pi}{4}$$.

Ключевые точки:

• при $$x=\frac{\pi}{4}$$: $$y=-\cos 0=-1$$;
• при $$x=\frac{3\pi}{4}$$: $$y=-\cos\frac{\pi}{2}=0$$;
• при $$x=\frac{5\pi}{4}$$: $$y=-\cos\pi=1$$;
• при $$x=\frac{7\pi}{4}$$: $$y=-\cos\frac{3\pi}{2}=0$$.

По этим точкам строится график с периодом $$2\pi$$ и значениями $$-1\le y\le 1$$.

Ответ

1) График функции $$y=2\sin\left|x+\frac{\pi}{6}\right|$$ получается из графика $$y=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)$$ при $$x\ge -\frac{\pi}{6}$$ отражением относительно оси $$Oy$$ для части $$x<-\frac{\pi}{6}$$.

2) График функции $$y=-\cos\left|x-\frac{\pi}{4}\right|$$ симметричен относительно прямой $$x=\frac{\pi}{4}$$; его можно построить по точкам $$\left(\frac{\pi}{4},-1\right), \left(\frac{3\pi}{4},0\right), \left(\frac{5\pi}{4},1\right), \left(\frac{7\pi}{4},0\right).$$