Упр.21 Повторение ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) (x-5)/(x-a)?0; 2) (x+1)(x-a)/(x+1)?0.

1. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{x-5}{x-a}\ge 0.$$

   Критические точки: $$x=5$$ и $$x=a$$. Нужно учесть, что $$x\ne a$$.

   Знак дроби зависит от взаимного расположения точек $$5$$ и $$a$$.

   1) Если $$a=5$$, то
   $$\frac{x-5}{x-5}=1,$$
   при $$x\ne 5$$. Значит,
   $$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

   2) Если $$a<5$$, то на промежутке между $$a$$ и $$5$$ дробь отрицательна, а вне его — неотрицательна. Поэтому
   $$x\in(-\infty;a)\cup[5;+\infty).$$

   3) Если $$a>5$$, то
   $$x\in(-\infty;5]\cup(a;+\infty).$$

2. Рассмотрим неравенство

   $$\frac{(x+1)(x-a)}{x+1}\ge 0.$$

   Область определения: $$x\ne -1$$.

   При $$x\ne -1$$ можно сократить дробь:

   $$x-a\ge 0,$$

   то есть

   $$x\ge a,$$

   но при этом обязательно $$x\ne -1$$.

   1) Если $$a=-1$$, то получаем
   $$x\ge -1,\quad x\ne -1,$$
   значит
   $$x\in(-1;+\infty).$$

   2) Если $$a<-1$$, то
   $$x\in[a;-1)\cup(-1;+\infty).$$

   3) Если $$a\ge -1$$, то точка $$-1$$ не попадает в промежуток $$[a;+\infty)$$, поэтому
   $$x\in[a;+\infty).$$

Ответ

1) Если $$a=5$$, то $$x\in(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; если $$a<5$$, то $$x\in(-\infty;a)\cup[5;+\infty)$$; если $$a>5$$, то $$x\in(-\infty;5]\cup(a;+\infty)$$.

2) Если $$a=-1$$, то $$x\in(-1;+\infty)$$; если $$a<-1$$, то $$x\in[a;-1)\cup(-1;+\infty)$$; если $$a\ge -1$$, то $$x\in[a;+\infty)$$.