Упр.21.19 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) cos(?(x^2+y^2))=1; 2) cos(x)+cos(y)=-2.

1. $$\cos \pi(x^2+y^2)=1.$$

   Значение косинуса равно $1$ тогда и только тогда, когда

   $$\pi(x^2+y^2)=2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Отсюда

   $$x^2+y^2=2n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Так как $$x^2+y^2\ge 0,$$ то нужно брать только $$n\ge 0.$$

   Следовательно, график состоит из окружностей с центром в начале координат и радиусами

   $$R=\sqrt{2n},\quad n=0,1,2,\dots$$

2. $$\cos x+\cos y=-2.$$

   Так как $$\cos x\le 1$$ и $$\cos y\le 1,$$ то сумма равна $$-2$$ только в случае

   $$\cos x=-1,\quad \cos y=-1.$$

   Тогда

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

   $$y=\pi+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

   График — множество точек с координатами

   $$\bigl(\pi+2\pi n,\ \pi+2\pi k\bigr),\quad n,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x^2+y^2=2n,\quad n=0,1,2,\dots$$ — семейство окружностей с центром в начале координат.

2) $$x=\pi+2\pi n,\quad y=\pi+2\pi k,\quad n,k\in \mathbb{Z}$$ — решётка точек $$\bigl(\pi+2\pi n,\ \pi+2\pi k\bigr).$$