Упр.21.18 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) sin(?(x^2+y^2))=0; 2) sin(x)+sin(y)=2.

1) $$\sin \pi(x^2+y^2)=0.$$

Синус равен нулю, когда его аргумент кратен $$\pi$$:

$$\pi(x^2+y^2)=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x^2+y^2=n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Так как $$x^2+y^2\ge 0,$$ то подходят только $$n=0,1,2,\dots$$

Следовательно, график уравнения — совокупность окружностей с центром в начале координат и радиусами

$$R=\sqrt{n},\quad n=0,1,2,\dots$$

То есть это система концентрических окружностей:

$$x^2+y^2=0,\; x^2+y^2=1,\; x^2+y^2=2,\; \dots$$

2) $$\sin x+\sin y=2.$$

Так как $$\sin x\le 1$$ и $$\sin y\le 1,$$ то сумма равна $$2$$ только при

$$\sin x=1,\quad \sin y=1.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$

$$y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

Значит, график — множество точек пересечения прямых

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad y=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad n,k\in \mathbb{Z}.$$

Это решётка точек с координатами

$$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n,\;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad n,k\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$x^2+y^2=n,\quad n=0,1,2,\dots$$ — система концентрических окружностей с центром в начале координат.

2) $$\left(\frac{\pi}{2}+\pi n,\;\frac{\pi}{2}+\pi k\right),\quad n,k\in \mathbb{Z}$$ — решётка точек.