Упр.21.15 ГДЗ Мерзляк 10 класс Углубленный уровень (Алгебра)

1) y=|cos(2|x|-?/3)|;
2) y=|sin(1/2 |x|+?/6)|.

1) Рассмотрим функцию $$y=\left|\cos\left(2|x|-\frac{\pi}{3}\right)\right|.$$

Так как в формуле стоит модуль от $$x$$, график функции чётный, поэтому достаточно построить его при $$x\ge 0$$ и затем отразить относительно оси $$Oy$$.

При $$x\ge 0$$ имеем $$|x|=x$$, значит

$$y=\left|\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\right|.$$

Построим сначала график $$y=\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)$$, а затем отразим его часть, лежащую ниже оси $$Ox$$, вверх относительно оси $$Ox$$, так как стоит модуль от значения функции.

Нули функции определяются из уравнения

$$\cos\left(2|x|-\frac{\pi}{3}\right)=0,$$

то есть

$$2|x|-\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$|x|=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}.$$

Максимальное значение функции равно $$1$$, минимальное — $$0$$. График периодически повторяется и симметричен относительно оси $$Oy$$.

2) Рассмотрим функцию $$y=\left|\sin\left(\frac12|x|+\frac{\pi}{6}\right)\right|.$$

Эта функция также чётная, поэтому достаточно построить её при $$x\ge 0$$:

$$y=\left|\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\right|.$$

Сначала строим график $$y=\sin\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)$$, затем отрицательные значения отражаем вверх относительно оси $$Ox$$.

Нули функции находятся из уравнения

$$\sin\left(\frac12|x|+\frac{\pi}{6}\right)=0,$$

то есть

$$\frac12|x|+\frac{\pi}{6}=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Следовательно,

$$|x|=2\pi k-\frac{\pi}{3}.$$

При этом нужно брать только те значения $$k$$, для которых правая часть неотрицательна. График лежит выше оси $$Ox$$, симметричен относительно оси $$Oy$$, а его значения принадлежат отрезку $$[0;1]$$.

Ответ

1) График функции $$y=\left|\cos\left(2|x|-\frac{\pi}{3}\right)\right|$$ — чётный, с областью значений $$[0;1]$$, нули задаются равенством $$|x|=\frac{5\pi}{12}+\frac{\pi k}{2}$$, $$k\in\mathbb Z$$.

2) График функции $$y=\left|\sin\left(\frac12|x|+\frac{\pi}{6}\right)\right|$$ — чётный, с областью значений $$[0;1]$$, нули задаются равенством $$|x|=2\pi k-\frac{\pi}{3}$$ при тех $$k\in\mathbb Z$$, для которых правая часть неотрицательна.